Aljabar Boolean
Organisasi Sistem Komputer
- Aljabar Boolean
Aljabar
boolean merupakan aljabar yang berhubungan dengan variabel-variabel biner dan
operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf
alfabet, dan tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen).
Fungsi
boolean terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu
tanda sama dengan, dan suatu ekspresi aljabar yang dibentuk dengan menggunakan
variabel-variabel biner, konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik,
dan tanda kurung. Suatu fungsi boolean bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran.
Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boolean merupakan daftar semua kombinasi
angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan daftar
yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Aljabar
boolean mempunyai 2 fungsi berbeda yang saling berhubungan. Dalam arti luas,
aljabar boolean berarti suatu jenis simbol-simbol yang ditemukan oleh George
Boole untuk memanipulasi nilai-nilai kebenaran logika secara aljabar. Dalam hal
ini aljabar boolean cocok untuk diaplikasikan dalam komputer. Oleh karena
itulah si penulis berharap si pembaca dapat mengetahui fungsi dan menambah
wawasan tentang Aljabar Boolean.
- Rumusan
Misalkan
terdapat
-
Dua
operator biner: + dan ×
-
Sebuah
operator uner: ’.
-
B : himpunan yang didefinisikan pada opeartor
+, ×, dan ’
-
0 dan 1
adalah dua elemen yang berbeda dari B.
(B, +, ×, ’)
disebut Aljabar Boolean jika untuk setiap a, b,
c Î B berlaku aksioma-aksioma atau
postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a +
b Î B
(ii)
a × b Î B
2. Identitas: (i) a +
0 = a
(ii)
a × 1 = a
3. Komutatif: (i) a +
b = b + a
(ii) a × b =
b . a
4. Distributif: (i) a × (b + c) = (a × b)
+ (a × c)
(ii) a +
(b × c)
= (a + b) × (a + c)
5. Komplemen[1]: (i)
a + a’ = 1
(ii) a × a’
= 0
Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus
diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan
operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
> Fungsi Aljabar Boolean
Fungsi Boolean (disebut juga fungsi
biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi
Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn ® B
yang dalam hal ini Bn
adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered
n-tuple) di dalam daerah asal B.
·
Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
·
Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z)
= xyz + x’y + y’z
Fungsi f
memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y,
z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1,
0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1,
0, 1) = 1 × 0 × 1 + 1’ × 0 + 0’× 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1.
f(x) = x
2.
f(x, y)
= x’y + xy’+ y’
3.
f(x, y)
= x’ y’
4.
f(x, y)
= (x + y)’
5.
f(x, y,
z) = xyz’
·
Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk
komplemennya, disebut literal.
Contoh:
Fungsi h(x, y, z) = xyz’
pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui
fungsi Booelan f(x, y, z) = xy
z’, nyatakan h dalam tabel
kebenaran.
Penyelesaian:
X
|
y
|
z
|
f(x, y,
z) = xy z’
|
0
0
0
0
1
1
1
1
|
0
0
1
1
0
0
1
1
|
0
1
0
1
0
1
0
1
|
0
0
0
0
0
0
1
0
|
>Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar
Boolean dua-nilai:
-
B
= {0, 1}
-
operator biner, + dan ×
-
operator uner, ’
-
Kaidah untuk operator biner dan operator
uner:
A
|
b
|
a × b
|
a
|
B
|
a
+ b
|
A
|
a’
|
||
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
||
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
||
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
||||
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Cek apakah memenuhi postulat
Huntington:
1. Closure
: jelas berlaku
2. Identitas:
jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii)
1 ×
0 = 0 × 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel
operator biner.
4.
Distributif: (i) a ×
(b + c) = (a ×
b) + (a ×
c) dapat ditunjukkan benar dari tabel
operator biner di atas dengan membentuk
tabel kebenaran:
A
|
b
|
c
|
b
+ c
|
a
×
(b + c)
|
a
×
b
|
a
×
c
|
(a × b) + (a × c)
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
(ii)
Hukum distributif a + (b × c) = (a + b) ×
(a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara
yang sama seperti (i).
5.
Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘
= 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a
×
a = 0, karena 0 ×
0’= 0 ×
1 = 0 dan 1 ×
1’ = 1 ×
0 = 0
Karena
kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1}
bersama-sama dengan operator biner + dan × operator
komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
2.4
Ekspresi
Boolean
Misalkan (B, +, ×, ’) adalah
sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, ×, ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii)
jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean,
maka e1 + e2, e1 ×
e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a ×
b
a’×
(b + c)
a ×
b’ + a × b × c’ + b’,
dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
Contoh:
a’×
(b + c)
jika
a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’×
(1 + 0) = 1 ×
1 = 1
Dua ekspresi Boolean
dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai
nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a
× (b + c) = (a . b)
+ (a × c)
Contoh.
Perlihatkan bahwa a + a’b
= a + b .
Penyelesaian:
A
|
b
|
a’
|
a’b
|
a
+ a’b
|
a
+ b
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
Perjanjian: tanda titik (×)
dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i) a(b
+ c) = ab + ac
(ii)
a
+ bc = (a + b) (a + c)
(iii)
a ×
0 , bukan a0
>Prinsip Dualitas
Misalkan S
adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan
operator +, ×, dan komplemen,
maka jika pernyataan S* diperoleh
dengan cara mengganti
× dengan
+
+ dengan
×
0 dengan
1
1 dengan
0
dan
membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual
dari S.
Contoh.
(i) (a × 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 × a’) = 1
(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a
+ b
2. 6 Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas:
(i) a
+ 0 = a
(ii) a × 1 = a
|
2. Hukum idempoten:
(i) a
+ a = a
(ii) a × a = a
|
3. Hukum komplemen:
(i) a
+ a’ = 1
(ii) aa’ = 0
|
4. Hukum dominansi:
(i) a
× 0 = 0
(ii) a + 1 = 1
|
5. Hukum involusi:
(i) (a’)’ = a
|
6. Hukum penyerapan:
(i) a
+ ab = a
(ii) a(a
+ b) = a
|
7. Hukum komutatif:
(i) a
+ b = b + a
(ii) ab = ba
|
8. Hukum asosiatif:
(i) a
+ (b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b
c) = (a b) c
|
9. Hukum
distributif:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c
|
10. Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
|
11. Hukum 0/1
(i)
0’ = 1
(ii)
1’ = 0
|
 |
Contoh
Buktikan (i) a + a’b = a + b dan
(ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a’b
= (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab
+ a’b) (Asosiatif)
= a + (a
+ a’)b (Distributif)
= a + 1 · b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii)
adalah dual dari (i)
0 komentar: